Appunti sui Numeri Complessi

Fu Girolamo Cardano (Ars Magna, 1545) il primo a trattare esplicitamente i numeri complessi, tentando di risolvere il seguente problema: “Dividere un segmento di lunghezza 10 in due parti tali che il rettangolo da esse formato abbia area 40”

Matematica C3 – Complementi di Algebra – 4. Numeri complessi 1
Complementi di Algebra - 4. Numeri complessi
1 Dai numeri naturali ai numeri complessi
1.1 Introduzione
Fu Girolamo Cardano (Ars Magna, 1545) il primo a trattare esplicitamente i numeri complessi, tentando
di risolvere il seguente problema:
“dividere un segmento di lunghezza 10 in due parti tali che il rettangolo da esse formato abbia area 40”
In realtà l’area di un tale rettangolo è al massimo 25, ma l’algebra ci dice qualcosa in più, se consideriamo
l’equazione corrispondente al problema:
210 40 0xx−+=.
Essa conduce alle due soluzioni “sofistiche”
515+− e 515−−, che usano il numero “immaginario”
15− e il cui prodotto è
()()()5 15 5 15 25 15 40+− −− = −− =
e la cui somma è
()()5 15 5 15 10+− + −− =.
Nei secoli successivi, numerose altre equazioni algebriche portarono a soluzioni “immaginarie”, come le
definì Cartesio nel 1637. Ma fu grazie ad Eulero che lo studio di tale materia trovò pieno compimento:
egli introdusse l’unità immaginaria i, tale che
21i=−, che permise di scrivere i numeri precedenti come
515i+ e qualsiasi altro numero complesso nella forma a noi nota:
zaib=+
L’interpretazione geometrica fu dovuta alle tesi di Gauss (1799) e Argand (1806) e alla loro introduzione
del piano complesso, che oggi porta il loro nome.
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